(Spezialfall der Bellschen Ungleichung, im Folgenden als
"grundlegende Ungleichung"
bezeichnet.)1. Die erste Situation: Ein bestimmter Kleidergroßhändler legt alljährlich die Modefarben für das neue Jahr fest. Er hat verschiedene Zulieferer, aber keine festen Verträge mit diesen. Sondern jeder Zulieferer zeigt jeweils seine neue Kollektion, und dann entscheidet der Großhändler, ob er kauft oder nicht. Zur Vereinfachung sei angenommen, daß nur die Farbe der neuen Kleider für die Entscheidung ausschlaggebend ist, und daß es nur drei Farben gibt: rot, gelb und grün. Außerdem stellt jeder Zulieferer für ein Jahr nur jeweils Kleider von genau einer Farbe her. Der Preis spielt keine Rolle für den Kauf. Zunächst sei angenommen, daß es nur einen Zulieferer gibt, der also Kleider in einer bestimmten Farbe herstellt, und diese dann dem Großhändler anbietet. Dieser schickt einen Handelsvertreter, der genaue Instruktionen dabei hat, wann er kaufen soll. Eine solche Instruktion könnte z.B. sein: Kaufe genau dann, wenn der Zulieferer rote oder gelbe Kleider anbietet. Das Geschäft kommt also dann zustande, wenn der Zulieferer Kleider von einer dieser Farben hergestellt hat. (Zur Wiederholung: Der Zulieferer hat immer nur jeweils Kleider einer Farbe vorrätig.)
Ziemlich unrealistisch sei angenommen, daß von seiten des Käufers alle möglichen Entscheidungen denkbar sind. Der Großhändler könnte also in einem Jahr beschließen, überhaupt keine Kleider einzukaufen, egal welche Farbe ihm angeboten wird. In einem anderen Jahr könnte in jedem Fall einkaufen, unabhängig von der Farbe. Und beliebige andere Kombinationen, es sind insgesamt 8 wie man leicht ausrechnen oder ausprobieren kann.
Der Zulieferer weiß vorher nicht über die Präferenzen des Großhändlers Bescheid. Aus seiner Sicht bietet er Kleider mit einer bestimmten Farbe an, und der Großhändler wird diese mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit kaufen. Wenn er genügend Geduld hat, kann der Zulieferer diese Wahrscheinlichkeiten messen. Damit diese Wahrscheinlichkeiten in einer einfachen Weise definiert sind sei angenommen, daß der Großhändler seine Entscheidung zwar nach gewissen Regeln, aber jedes Jahr ganz neu fällt, unabhängig davon, welche Farben er in den letzten Jahren gewählt hat. Wenn nun der Zulieferer viele Male Kleider von derselben Farbe anbietet, wird der Großhändler diese manchmal kaufen, manchmal nicht. Die Häufigkeit, mit der die Kleider gekauft werden, ist "ein Maß" für die Wahrscheinlichkeit. Dabei wird die Wahrscheinlichkeit umso genauer gemessen, je größer die Zahl der Versuche ist. Dies ist eine grundlegende Eigenart von Wahrscheinlichkeiten, das sogenannte Gesetz der großen Zahlen. (Kenner der Statistik mögen die Ungenauigkeit dieser Beschreibung entschuldigen.)
Jedenfalls gibt es Wahrscheinlichkeiten für jede Farbe, rot, gelb und grün, daß Kleider von dieser Farbe gekauft werden. Diese seien als P(rot), P(gelb) und P(grün) bezeichnet. Jede dieser Zahlen liegt zwischen 0 und 1 bzw. zwischen und 0% und 100%. P(rot)=0% heißt, daß der Großhändler nie rote Kleider kauft. P(rot)=100% heißt, daß er rote Kleider immer abnimmt. P(rot)=80% heißt, daß er rote Kleider in 80% aller Fälle kauft, usw.. Es gibt auch jeweils Wahrscheinlichkeiten, daß die Farben nicht gekauft werden. Diese seien als P(nicht rot), P(nicht gelb) und P(nicht grün) bezeichnet. Es gilt
P(rot)+P(nicht rot)=100%
und entsprechend für die anderen Farben. Das drückt die Tatsache aus, daß der Großhändler jeweils entweder die Kleider kauft, oder nicht kauft. Wenn er z.B. in 80% aller Fälle rot kauft, dann verweigert er umgekehrt in 20% aller Fälle den Ankauf von rot, also ist in diesem Beispiel P(rot)=80% und P(nicht rot)=20%. Somit gilt die obenstehende Gleichung. Es sei betont, daß die Wahrscheinlichkeit P(nicht rot) nicht dadurch gemessen werden kann, daß der Zulieferer gelbe oder grüne Kleider anbietet. Nur indem der Zulieferer rote Kleider anbietet, wird diese Wahrscheinlichkeit gemessen: Immer wenn diese Kleider nicht gekauft werden, trägt das zur entsprechenden Häufigkeit bei. Dagegen ist es für P(nicht rot) irrevelant, ob gelbe oder grüne Kleider gekauft oder nicht gekauft werden.
2. Nun sei angenommen, daß es zwei Zulieferer gibt. Jeder stellt seine Kleider her, jeweils nur eine Farbe. Der Großhändler schickt gleichzeitig zwei Handelsvertreter mit Instruktionen aus, die dann aufgrund der jeweiligen Farben der Zulieferer, die sie besuchen, darüber entscheiden, ob der Kauf zustandekommt. Es können also Geschäfte mit beiden Zulieferern zustande kommen, oder nur mit einem Zulieferer, oder mit keinem von beiden.
Damit gibt es nun viel mehr Wahrscheinlichkeiten, die hier eine Rolle spielen. Mit P(erste Farbe, zweite Farbe) sei die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß ein Geschäft sowohl mit dem ersten Großhändler mit der ersten Farbe zustandekommt, als auch mit dem zweiten Großhändler mit der zweiten Farbe. Dabei können die beiden Farben identisch sein. P(rot, grün) bezeichnet also z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Großhändler dem ersten Zulieferer rote Kleider und (im selben Jahr) dem zweiten Zulieferer grüne Kleider abkauft. P(gelb, nicht grün) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, daß der erste Zulieferer gelbe Kleider loskriegt, der zweite Zulieferer aber im selben Jahr auf grünen Kleidern sitzen bleibt. Usw.
Nebenbemerkung: Es gilt:
P(Farbe1,Farbe2)+P(nicht Farbe1,Farbe2)+P(Farbe1,nicht Farbe2)+P(nicht Farbe1,nicht Farbe2)=100%,
für alle Einsetzungen für die beiden Farben.
3. Es sei nun angenommen, daß die Zulieferer durch viele Versuche etwas herausgefunden haben: Wenn sie beide dieselbe Farbe anbieten, dann kommen entweder beide mit dem Großhändler ins Geschäft, oder dieser verweigert bei beiden den Ankauf. Man kann sich das so erklären: Wenn in einem Jahr der Großhändler z.B. entschieden hat, daß rot eine gute Farbe für dieses Jahr sein wird, dann wird er rote Kleider von beiden Zulieferer kaufen, wenn diese sie anbieten. Wenn er kein rot kaufen will, dann wird er rote Kleider von keinem der beiden abnehmen. Dieses Gesetz, gleiche Farben werden entweder beiden Zulieferern abgekauft, oder beiden nicht abgekauft, kennen nun die Zulieferer, und man kann im Folgenden voraussetzen, daß es ein streng gültiges Gesetz ist.
4. Aus diesem Gesetz können die Zulieferer erschließen, daß der Großhändler seine Einkäufe bei ihnen koordiniert, wie das ja auch naheliegend ist. Nun gibt es zwei grundlegend verschiedene Möglichkeiten, wie die Einkäufe bei beiden Zulieferern miteinander koordiniert sein können:
Möglichkeit 1: Der Großhändler schickt seine Handelsvertreter mit jeweils genauen Anweisungen aus, die nachher nicht mehr verändert werden. Das heißt, die Kaufentscheidung beim zweiten Zulieferer ist völlig unabhängig davon, wie die Entscheidung beim ersten Zulieferer ausgegangen ist. Dies steht nicht im Widerspruch zu dem oben (unter 3.) angegebenen Gesetz. Man kann in diesem Fall aus diesem Gesetz erschließen, daß offensichtlich beide Handelsvertreter identische Anweisungen haben. Dann ergibt sich gerade, daß sie, wenn sie die gleiche Farbe angeboten kriegen, jeweils beide kaufen oder nicht kaufen.
Möglichkeit 2: Die beiden Handelsvertreter stimmen sich so miteinander ab, daß der erste Vertreter, wenn die Entscheidung darüber gefallen ist, ob sein Geschäft zustandegekommen ist, oder nicht, dem zweiten dies mitteilt, sowie auch welche Farbe sein Zulieferer angeboten hat. Der zweite Vertreter macht seine Entscheidung von dieser Mitteilung abhängig.
Der entscheidende Unterschied zwischen diesen Alternativen liegt also darin, ob es noch zu einer Abstimmung zwischen den Handelsvertretern kommt, nachdem der erste Einkauf schon getätigt wurde.
5. Können die beiden Zulieferer durch ein Experiment darüber entscheiden, ob sich die Handelsvertreter in einer solchen Weise miteinander abstimmen? Es gibt ein Kriterium, das nicht notwendig erfüllt ist, wenn eine solche Abstimmung vorliegt, das aber hinreicht, um eine Abstimmung zu beweisen. Dieses lautet:
Wenn sich die beiden Handelsvertreter nicht abstimmen, dann gilt:
(Spezialfall der Bellschen Ungleichung, im Folgenden als
"grundlegende Ungleichung"
bezeichnet.)
Oder umgekehrt:
Wenn gilt
P(gelb, grün) > P(gelb, rot) + P(nicht rot, grün),
dann liegt eine nachträgliche Abstimmung vor.
Entsprechendes gilt natürlich auch, wenn die Farben untereinander (zyklisch) vertauscht werden, oder wenn man die Wahrscheinlichkeiten für Kauf mit denen für Nicht-Kauf vertauscht.
In Worten läßt sich der Gehalt dieser Ungleichung wie folgt ausdrücken: Wenn keine Abstimmung vorliegt, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Geschäft mit gelben Kleidern mit dem ersten Zulieferern und im selben Jahr mit grünen Kleidern mit dem zweiten Zulieferer zustandekommt, ist höchstens so groß wie die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite: Einmal daß der erste Zulieferer gelbe Kleider los wird, der zweite seine roten aber nicht verkaufen kann, und das andere Mal, daß der erste rote Kleider anbringt, und der zweite im selben Jahr mit grünen Kleidern Erfolg hat.
6. Diese Ungleichung folgt zwingend aus zwei Voraussetzungen: Erstens wird das Gesetz angenommen, das im Abschnitt 3 festgestellt wurde: Gleiche Farben werden im selben Jahre entweder bei beiden Zulieferern eingekauft, oder sie werden beiden nicht abgekauft. Und: Es kommt zu keiner nachträglichen Abstimmung zwischen den Handelsvertretern. Das Argument geht wie folgt:
Erster Schritt: Oben wurde schon festgestellt, daß in diesem Fall folgt, daß beide Handelsvertreter identische Anweisungen haben, was sie kaufen sollen und was nicht.
Zweiter Schritt, dieser erfordert einiges Mitdenken: Den Wahrscheinlichkeiten in der Ungleichung, P(gelb, grün), P(gelb, rot), P(nicht rot, grün) entsprechen bestimmte Häufigkeiten, mit denen die Geschäfte zustande kommen oder nicht zustande kommen, wenn die Zulieferer jeweils bestimmte Farben anbieten. Man kann nun einsehen, daß jeder Fall, der zu P(gelb, grün) beiträgt, daß also der erste Zulieferer mit gelb und der zweite mit grün ins Geschäft kommt, auch zu einer der Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite beiträgt. Denn in diesem Fall hat ja der Großhändler seine beiden Handelsvertreter angewiesen, sowohl gelbe als auch grüne Kleider zu kaufen. Man kann nun zwei Möglichkeiten unterscheiden: Entweder schließen die Anweisungen auch mit ein, daß rote Kleider zu kaufen sind, oder sie schließen rote Kleider aus. Im ersten Fall liefert der Kauf einen Beitrag zu P(gelb, rot), also der ersten Wahrscheinlichkeit in der Summe auf der rechten Seite der Ungleichung. Im zweiten Fall trägt er zu P(nicht rot, grün) bei, also der zweiten Wahrscheinlichkeit auf der rechten Seite.
Etwas konkreter: Es sei als Beispiel angenommen, daß die Geschäfte über einen Zeitraum von 100 Jahren betrachtet werden. P(gelb, grün)=20% heißt dann, daß innerhalb dieses Jahrhunderts der Großhändler genau 20 mal sowohl gelbe als auch grüne Kleider kaufen würde. Dabei ist es für diese Wahrscheinlichkeit P(gelb, grün) ohne Belang, ob in diesen Jahren auch rote Kleider gekauft würden. Man kann also diese 20 Jahre noch einmal aufteilen, daß z.B. in 13 dieser Jahre keine roten Kleider gekauft würden, in den restliche 7 Jahren dagegen auch rote Kleider. Dann ist P(gelb, rot) mindestens 7% groß, denn diese 7 Jahre tragen zu dieser Wahrscheinlichkeit bei. Entsprechend beträgt P(nicht rot, grün) mindestens 13%. Diese Wahrscheinlichkeiten können auch noch größer sein, denn es kann ja z.B. noch weitere 5 Jahre geben, in denen der Händler zwar rote und gelbe, aber keine grünen Kleider aufkaufen würde. Dann wäre P(gelb, rot)=7%+5%=12%. Deshalb handelt es sich bei der obigen grundlegenden Ungleichung eben um eine Ungleichung, nicht um eine Gleichung.
7. Damit haben die beiden Zulieferer eine Möglichkeit gefunden, wie sie evtl. beweisen können, daß sich die Handelsvertreter nachträglich absprechen, also nachdem das erste Geschäft schon getätigt wurde. Sie haben keine Möglichkeit, um das in jedem Fall zu beweisen. Es kann Absprachen geben, die nicht zu einer Verletzung der Ungleichung führen. Wenn aber umgekehrt die Ungleichung verletzt ist, dann ist das ein sicherer Beweis für Absprachen.
Daß eine Verletzung der Ungleichung durch Absprachen möglich ist, zeigt ein einfaches Beispiel: Der erste Handelsvertreter habe jedes Jahr dieselbe Anweisung: Kaufe nur, wenn Du gelbe Kleider angeboten kriegst. Der zweite Handelsvertreter bekommt folgende Anweisung: Warte, bis der erste sein Geschäft abgeschlossen hat und frage dann, ob er erfolgreich war. Dann folge denselben Anweisungen wie dieser, außer wenn er erfolgreich war, also gelbe Kleider gekauft hat. In diesem Fall kaufe sowohl gelbe als auch grüne Kleider. Aus dieser Konstellation ergibt sich, daß das Gesetz, das im Abschnitt 3 aufgestellt wurde, immer noch erfüllt ist: Wenn beide die gleiche Farbe anbieten, verhalten sich auch die Handelsvertreter in gleicher Weise. Die Ungleichung ist aber verletzt, weil gilt:
P(gelb, grün)=100% und P(gelb, rot)=0% und P(nicht rot, grün)=0% .
In Worten: P(gelb, grün)=100%: Wenn der erste Zulieferer gelbe Kleider anbietet und der zweite grüne, dann können beide verkaufen. P(gelb, rot)=0%: Wenn der erste Zulieferer gelbe Kleider anbietet, der zweite aber rote, dann kommen nicht beide ins Geschäft, nämlich der zweite bleibt auf seinen Kleidern sitzen. P(nicht rot, grün)=0%: Wenn der erste Zulieferer rote Kleider anbietet, der zweite aber grüne, dann wird zwar der erste seine roten nicht los, der zweite aber auch seine grünen nicht. Nebenbemerkung: P(nicht rot, nicht grün) beträgt also 100%.
Die Quantenmechanik beschreibt bestimmte physikalische Situationen mit sogenannten verschränkten Systemen. Ein Beispiel dafür: Atome haben verschiedene Energieniveaus, die sie einnehmen können. Wenn ein Atom auf dem niedrigsten Niveau ist, dann befindet es sich im Grundzustand, höhere Energieniveaus werden als angeregte Zustände bezeichnet. Wenn einem Atom im Grundzustand Energie zugeführt wird, dann geht es in einen angeregten Zustand über. Es wird dann durch Abstrahlung von Photonen (Lichtteilchen) nach einer gewissen Zeit wieder in den Grundzustand übergehen. Das geschieht z.B. in den wohlvertrauten Neonröhren. Durch den elektrischen Strom, der durch eine Neonröhre fließt, stoßen Elektronen auf Neonatome und führen diese in einen angeregten Zustand über. Wenn die Neonatome wieder in den Grundzustand übergehen, senden sie Photonen, also Licht, aus. In manchen Fällen kann nun ein solcher Übergang eines Atoms in einen Grundzustand über eine Zwischenstufe erfolgen. Das Atom sendet in diesem Fall also zwei Photonen aus. Diese Photonen sind im Sinn der Quantenmechanik miteinander verschränkt.
Die beiden verschränkten Photonen können nun beliebig weit auseinander laufen. Man könnte sich prinzipiell vorstellen, daß ein Photon zur Venus fliegt, das andere zum Mars, und daß dort jeweils bestimmte Eigenschaften der Photonen, der sogenannte Spin (entspricht der Polarisation des Lichts), vermessen werden. Es ist naheliegend, daß diese Eigenschaften nicht voneinander unabhängig ist, weil die Photonen ja vom selben Atom ausgesandt wurden. Man sollte aber annehmen, daß sich die beiden Photonen nachher nicht mehr wesentlich beeinflussen, oder zumindest, daß ein solcher Einfluß mit wachsender Entfernung der Photonen immer mehr abnimmt.
Im Fall der beiden Photonen zeigt sich nun, wenn sie richtig präpariert werden, ein analoges Verhalten wie bei den beiden Handelsvertretern: Wenn an beiden Photonen derselbe Spinzustand vermessen wird, dann stimmen die Messungen immer überein. Entweder haben beide Photonen diesen Spinzustand oder beide haben ihn nicht.
Wenn man nun annimmt, daß sich die beiden Photonen nicht mehr beeinflussen, dann folgt, wie im obigen Beispiel ausgeführt, die Bellsche Ungleichung für kombinierte Messungen von Spinzuständen an den beiden Photonen. Den Farben entsprechen also die Spinzustände. In diese Ungleichung gehen überhaupt keine speziellen physikalischen Voraussetzungen ein, sondern nur, daß sich die beiden Photonen nicht mehr beeinflussen, wenn das eine auf der Venus ankommt, das andere auf dem Mars. Bei den Handelsvertretern ist ein solcher Einfluß durchaus naheliegend, sie haben spätestens seit dem Zeitalter der Handys ja hervorragende Möglichkeiten der Kommunikation. Wie ist ein solcher Einfluß aber bei den Photonen vorstellbar?
Nebenbemerkungen: Es gibt eine allgemeinere Formulierung der Bellschen Ungleichung, die nicht (wie in unserem Beispiel) voraussetzt, daß Messungen der gleichen Spinzustände an beiden Photonen immer zum selben Ergebnis führen. Dies ist auch die übliche Formulierung. Das ist aber im Beispiel gar nicht wichtig, weil die Photonen tatsächlich in dieser Weise koordiniert sind.
Das hängt nun mit einem berühmten Paradox zusammen, das zum Verständnis der Quantenmechanik viel beiträgt. Einstein, Rosen und Podolsky haben dieses Paradox (mit einem anderen physikalischen Beispiel) aufgezeigt, in der Absicht die "Unvollständigkeit" der Quantenmechanik zu beweisen.(1) Der Formalismus der Quantenmechanik behauptet nämlich, daß die Ergebnisse der Messungen an zwei verschränkten Teilchen in einer solchen Weise miteinander korreliert sind, daß die jeweils erste Messung den Zustand des anderen Teilchens in einer bestimmten Weise beeinflußt, und zwar instantan (ohne Verzögerung) und völlig unabhängig von der Entfernung der Teilchen untereinander. Dies erschien den genannten Autoren unsinnig. Einstein bezeichnete einen solchen Einfluß als "Geisterwirkung". Sie folgerten, daß die Beschreibung der Quantenmechanik unvollständig sein muß. Die Meinung von Einstein, Rosen und Podolsky war, daß die grundlegenden Eigenschaften der Teilchen andere sein müssen als die direkt beobachteten. Die beobachteten Eigenschaften, wie in unserem Beispiel die Spinzustände, sind in dieser Vorstellung Epiphänomene. Das heißt: Die Quantenmechanik beschreibt die Natur in richtiger Weise, aber eben in unvollständiger Weise.(2) Die "eigentlichen" Eigenschaften sind sogenannte "verborgene Parameter" (hidden variables). Das sind also so etwas wie tiefere, eigentlichere Eigenschaften, während die von der heutigen Physik gemessenen Eigenschaften indirekt aus diesen verborgenen Eigenschaften folgen. Für diese verborgenen Parameter ging Einstein davon aus, daß kein solcher wechselseitiger Einfluß der Teilchen über beliebige Entfernungen angenommen werden muß.
Bell zeigte viele Jahre später, daß sich diese Theorie der verborgenen Parameter in dem Sinn, wie Einsteins sie verstanden hatte, durch Experimente testen läßt. Er stellte seine berühmte Ungleichung auf, von der ein Spezialfall oben im Beispiel mit den Handelsvertretern hergeleitet wurde. Es gilt nun:
(1) Diese Bellsche Ungleichung ist gültig unter der Voraussetzung, daß in verschränkten Systemen die Messung an einem Objekt die Eigenschaften des anderen nicht beeinflußt, sondern, daß deren Eigenschaften jeweils vor der Messung unabhängig voneinander festliegen. Dabei wird auf keinerlei spezielle physikalische Eigenschaften der Objekte Bezug genommen, die Ableitung setzt (wie im Beispiel der Handelsvertreter) nur die Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bzw. allgemeiner die Logik voraus. Es ist auch nicht von Belang, ob diese Eigenschaften nur indirekt aus anderen (verborgenen) Parameter folgen.
(2) Die Quantenmechanik sagt voraus, daß die Bellsche Ungleichung in bestimmten verschränkten Systemen bei bestimmten Messungen verletzt sein wird.
Damit ist Einsteins Theorie in gewisser Weise gestorben. Die Ableitung von Bell nimmt nämlich, wie gesagt, auf die speziellen physikalischen Eigenschaften gar keinen Bezug. Einstein wollte aber, indem er verborgene Parameter einführt, vermeiden, daß man eine "Geisterwirkung" zwischen den Photonen postulieren muß. Daraus, daß die quantenmechanischen Vorhersagen die Bellsche Ungleichung verletzen folgt: Wenn die Vorhersagen der Quantenmechanik richtig sind, dann gibt es keine Beschreibung von verschränkten Systemen mit verborgenen Parametern, die die Einsteinschen Geisterwirkungen vermeidet.
Es bleibt aber noch die Möglichkeit, daß die Quantenmechanik nicht nur unvollständig, sondern falsch ist. Doch in Bezug auf das EPR-Paradox hat Bell mit seiner Ungleichung die Voraussetzung dafür geschaffen, die Existenz der "Geisterwirkungen" experimentell zu untersuchen. (Siehe aber die Ausführungen unten zur "Realität" dieser Wirkungen.) Die Quantenmechanik sagt ja voraus, daß diese Ungleichung bei bestimmten Messungen verletzt sein wird. Solche Messungen wurden nun durchgeführt, in vielen Variationen. Alle diese Versuche haben die Vorhersagen Quantenmechanik bestätigt: Eine Verletzung der Bellschen Ungleichung wurde immer dann gefunden, wenn die Quantenmechanik eine solche Verletzung vorhersagte.
Natürlich wurden die Messungen nicht so durchgeführt, daß die Spinzustände der Photonen auf Venus und Mars gemessen wurden. Man findet aber, daß die Verletzung der Bellschen Ungleichung völlig unabhängig von der Entfernung der Photonen ist, wie es die Quantenmechanik auch vorhersagt.
Eine naheliegende Schlußfolgerung aus dem Gesagten ist: Dann gibt es halt die "Geisterwirkungen"! Also: Die Verletzung der Bellschen Ungleichung zeigt, daß es in der Natur kausale Wirkungen gibt, die über beliebige Entfernungen (ohne daß davon ihre Stärke beeinflußt würde) und instantan wirken.
Die Probleme damit lassen sich in drei Fragen aufspalten. (1) Die erste Frage ist die nach sogenannten Fernwirkungen, also Wirkungen, die ohne einen vermittelnden Mechanismus im Raum dazwischen über die Ferne wirken. (2) Die zweite Frage ist die nach Wirkungen, deren Stärke nicht von der Entfernung abhängt. (3) Die dritte Frage ist, ob Wirkungen instantan, d.h. ohne Zeitverzögerung erfolgen können.
(1) Die erste Frage, also nach Fernwirkungen, hat in der Physik eine lange Geschichte. Ein Höhepunkt dieser Geschichte war mit Newtons Entdeckung der Theorie der Gravitation verbunden. In dieser Newtonschen Gravitationstheorie wirkt die Gravitation ohne einen vermittelnden Mechanismus über beliebig große Entfernungen, wenngleich die Stärke der Kraft mit der Entfernung (umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung) abfällt. Newton selbst hat dieser Zug seiner Theorie gar nicht behagt. Er wußte aber nichts Besseres. Die Newtonsche Theorie wurde im 20. Jahrhundert von Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie abgelöst, die Newtons Theorie als Näherung mit enthält. Diese beseitigte den Fernwirkungscharakter der Gravitation. Die Krümmung der Raumzeit vermittelt die Gravitationskraft, und die Krümmung wirkt immer nur lokal, als zwischen unmittelbar benachbarten Punkten. Man kann annehmen, daß Newton erleichtert reagiert hätte, wenn er diese Fortschritt der Theorie noch erlebt hätte. Es geht aber noch weiter: In allen modernen Theorien von Kräften zwischen Elementarteilchen spielt das Nahewirkungsprinzip, das Fernwirkungen ausschließt, eine grundlegende Rolle. Dieses Prinzip, das Newton und viele andere Physiker eher intuitiv hochschätzten, ist inzwischen bestens bewährt im Aufbau der Physik. Es ist natürlich nicht bewiesen, und ein Beweis eines solchen Prinzips ist in der Physik prinzipiell gar nicht möglich. Aber die langjährige Bewährung eines solchen Prinzips ist ein starkes Argument für dieses.
(2) Die zweite Frage: Gibt es Wirkungen, deren Stärke völlig unabhängig von der Entfernung ist? Dazu zwei Bemerkungen: (2a) Einerseits könnte es intuitiv einleuchtend erscheinen, daß Kraftwirkungen umso schwächer werden sollten, je größer die Entfernung ist, über die sie übertragen werden. Andrerseits gibt es unter den Grundkräften, die das gegenwärtige Standardmodell der Elementarteilchen postuliert, eine, die sich genau anders herum verhält: Die "starke" Wechselwirkung zwischen Quarks wird umso stärker, je weiter diese voneinander entfernt sind.(3) Man sollte also in der Hinsicht der Intuition mißtrauen. (2b) Es gibt aber noch ein anderes Problem: Die "Geisterwirkungen" zwischen verschränkten Teilchen sind nicht auf die wenigen Fälle beschränkt, die das EPR-Paradox beschreibt. Sondern sie bestehen zwischen allen Teilen des Universums. Alles wirkt ständig auf alles andere ein, mit Kräften, die vom Abstand völlig unabhängig sind. Nur bewirkt ein Mechanismus, den die Quantenmechanik auch sinnvoll beschreiben kann, daß sich diese Wirkungen in aller Regel gegenseitig so aufheben, daß wir sie nicht bemerken. Aber immerhin sollte man sich das Problem bewußt machen: Wir leben, wenn es diese Geisterwirkungen real gibt, in einer Welt, wo alles auf alles einwirkt, ohne Zeitverzögerung und über beliebige Entfernungen, nur bemerken wir davon nichts, außer in diesen ganz speziellen experimentellen Bedingungen, die von der Bellschen Ungleichung erfaßt werden.
(3) Das schwierigste Problem mit den Geisterwirkungen ist aber, daß diese instantan erfolgen. Oben wurde schon erwähnt, daß die Einsteinsche Allgemeine Relativitätstheorie die Newtonsche Gravitationstheorie ablöste, und dabei das Problem der Fernwirkungen beseitigen konnte. Eine treibende Kraft, warum Einstein diese Theorie entwickelt hatte, war, daß instantane Fernwirkungen im Widerspruch standen zur Speziellen Relativitätstheorie, die Einstein schon 10 Jahre früher begründet hatte. Diese Theorie, die zu den bestbestätigsten der Physik zählt (auch wenn sie der Intuition widerspricht) besagt unter anderem, daß der Verlauf der Zeit für verschiedene Beobachter, die sich verschieden bewegen, unterschiedlich verläuft. Es kann der Fall eintreten, daß ein Ereignis A für einen Beobachter vor einem Ereignis B erfolgt, für einen anderen Beobachter aber nach dem Ereignis B. Dies gilt aber nur dann, wenn die Ereignisse so schnell aufeinander folgen, daß kein Lichtstrahl zwischen ihnen laufen kann. Z.B. braucht das Licht 8 Minuten, um von der Sonne bis zur Erde zu kommen. Wenn auf der Sonne etwas passiert und innerhalb dieser 8 Minuten ein anderes Ereignis auf der Erde geschieht, dann ist die zeitliche Abfolge dieser Ereignisse relativ zum Beobachter. Bei "irdischen" Entfernungen ist die Laufzeit des Lichtes so kurz, daß dieser Effekt normalerweise keine Rolle spielt. Deshalb kommt er in unserer Alltagserfahrung auch nicht vor.
Das hat nun Konsequenzen für die Kausalität von Ereignissen. Die Wirkung geht der Ursache zeitlich voraus, das ist ein Prinzip der Physik. Einstein folgerte, daß physikalische Wirkungen sich höchstens mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten können. Denn sonst gäbe es, wenn ein Ereignis A ein Ereignis B mit Überlichtgeschwindigkeit bewirkt, einen Beobachter, für den das Ereignis B vor dem Ereignis A erfolgt. Also liegt dann die Wirkung zeitlich vor der Ursache.
Man kann natürlich dieses Prinzip hinterfragen, daß die Wirkung der Ursache zeitlich voraus geht. Aber das führt in beträchtliche Schwierigkeiten, die aus diversen Zeitreise-Science-Fiction-Motiven gut bekannt sind. Eine Wirkung verursacht eine Veränderung des Objekts, auf das sie wirkt. Nun das Zeitreise-Paradox: Wirkungen, die mit Überlichtgeschwindigkeit laufen, übertragen Veränderungen in die Vergangenheit, zunächst an einen weit entfernten Ort. Diese Übertragung kann aber mit dem gleichen Mechanismus wieder zum ursprünglichen Ort zurück übertragen werden, und landet dort noch weiter in der Vergangenheit. Wir könnten also die Vergangenheit verändern. Damit landet man in einem Widerspruch. Man muß also annehmen, daß eine solche Wirkung, die mit Überlichtgeschwindigkeit wirkt, die Vergangenheit nicht verändern kann. Was ist das aber dann für eine Wirkung, wenn sie keine Veränderung bewirken kann?
Das alles gilt natürlich nur, wenn die Spezielle Relativitätstheorie richtig ist. Aber aus physikalischer Sicht spricht nichts, kein Experiment und gar nichts gegen diese Theorie, aber sehr, sehr viel für sie.
Es sei noch erwähnt, daß die Spezielle Relativitätstheorie und das Prinzip, daß kausale Wirkungen höchstens mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden können, nicht nur bestens bestätigt sind, sondern auch eine fundamentale Rolle spielen im Aufbau des modernen Standardmodells der fundamentalen Kräfte und der Elementarteilchen. Kein Physiker wird dieses Prinzip leichtfertig in die Ecke stellen.
Soeben wurde behauptet, daß es nichts gibt, was gegen die Spezielle Relativitätstheorie und die Lichtgeschwindigkeit als grundlegende Geschwindigkeitsgrenze zur Übertragung von Wirkungen spricht. Aber sprechen nicht gerade die beschriebenen "Geisterwirkungen" der Quantenmechanik dagegen?
Nun haben diese "Geisterwirkungen" (was ja eine polemischen Bezeichnung Einsteins für den beschriebenen Effekt ist) eine sehr besondere Eigenart: Sie können gerade keine "reale" Veränderung in der makroskopischen Welt bewirken. Das mag nun ziemlich unsinnig erscheinen. Es wurde ja gezeigt, daß diese Wirkungen meßbar sind, mit Hilfe der Verletzung der Bellschen Ungleichung. Aber diese Messung geschieht, indem Wahrscheinlichkeiten (oder genauer: Wahrscheinlichkeitskorrelationen) gemessen werden. Sie lassen sich also nur in einer größeren Gesamtheit beobachten, wenn ein Experiment so oft wiederholt wird, daß die Wahrscheinlichkeiten genau genug festgestellt werden können. Die "Stärke" der Verletzung Bellschen Ungleichung ist nun gerade nur so groß, daß keine Information mit dieser "Geisterwirkung" übertragen werden kann. Dazu müßte man gleichzeitig eine Information darüber mit übertragen, welche Messung am ersten Teilchen durchgeführt wurde. Diese Information kann aber wieder nur maximal mit Lichtgeschwindigkeit übertragen werden.
Es wurde gerade von der "Stärke" der Verletzung der Bellschen Ungleichung gesprochen. Tatsächlich läßt sich diese Verletzung mit statistischen Methoden auch quantifizieren. Interessant ist eben, daß diese Verletzung gerade in solch einer Weise geschieht, daß keine makroskopische Wirkung damit übertragen werden kann. Das ist nicht selbstverständlich. Im obigen Beispiel mit den Handelsvertretern wurde ein Möglichkeit angegeben, wie die Bellsche Ungleichung verletzt werden kann: "Der erste Handelsvertreter habe jedes Jahr dieselbe Anweisung: Kaufe nur, wenn Du gelbe Kleider angeboten kriegst. Der zweite Handelsvertreter bekommt folgende Anweisung: Warte, bis der erste sein Geschäft abgeschlossen hat und frage dann, ob er erfolgreich war, und wenn ja, welche Farbe er gekauft hat. Dann folge denselben Anweisungen wie dieser, außer wenn er gelbe Kleider gekauft hat. In diesem Fall kaufe sowohl gelbe als auch grüne Kleider."
Bei dieser Art der Verletzung der Bellschen Ungleichung können durch die Verschränkung Informationen übertragen werden: Die beiden Zulieferer können durch ihre Experimente herausfinden, daß der Kleiderhändler dem zweiten Zulieferer genau dann grüne Kleider abkauft, wenn ihm der erste Zulieferer gelbe Kleider angeboten hat. Wenn sie dies herausgefunden haben, dann kann in jeder Saison, wenn der Kleiderhändler seine Handelsvertreter wieder ausschickt, ein Bit Information, also eine Ja/Nein-Entscheidung übertragen werden: Der erste Zulieferer bietet gelbe Kleider an, wenn er "Ja" übertragen will, aber grüne oder rote, wenn er "Nein" übertragen will. Der zweite Zulieferer bietet immer grüne Kleider an. Wenn diese gekauft werden, dann weiß er, daß der erste Zulieferer "Ja" signalisiert, wenn sie nicht gekauft werden, dann signalisiert der erste Zulieferer "Nein".
Es ist nun höchst interessant, daß die "Geisterwirkungen" in verschränkten System der Quantenmechanik keine solche Informationsübertragung zulassen. Dadurch entgehen sie auch den genannten Paradoxa der Übertragung von Wirkungen mit Überlichtgeschwindigkeit. Diese Wirkungen können gerade nicht die Geschichte nachträglich verändern, weil sie keine makroskopischen Veränderungen hervorrufen können, auch nicht indirekt.
Allerdings ist in Zusammenhang mit der Speziellen Relativitätstheorie und der Relativität des Zeitverlaufs noch eine Frage zu beantworten: Es wurde oben schon gesagt, daß für verschiedene Beobachter (die sich verschieden bewegen) die zeitliche Reihenfolge von zwei Ereignissen vertauscht sein kann, wenn diese schnell genug aufeinander folgen. Das hat natürlich Konsequenzen für die "Geisterwirkungen": Zwei Photonen A und B seien wie oben beschrieben miteinander verschränkt. Die Messung am Photon A übt nun eine "Geisterwirkung" auf das Photon B aus, für einen Beobachter. Ein anderer Beobachter sieht die Sache aber ganz anders: Für erfolgt die Messung am Teilchen B vor der am Teilchen A, das heißt, die Messung am Teilchen B übt eine "Geisterwirkung" auf das Photon A aus. Liegt da nicht ein Widerspruch? Tatsächlich ist die "Geisterwirkung" in verschränkten Systemen der Quantenmechanik gerade in solch einer Weise symmetrisch, daß beide Beobachter von ihrem Standpunkt recht haben können. Es läßt sich einfach nicht unterscheiden, in welcher Richtung diese Wirkung läuft. Allerdings ist das doch in einem Widerspruch zum gewöhnlichen Verständnis von Kausalität, wenn man diese Wirkung als kausal ansieht.
In der obigen Darstellung wurde das EPR-Paradox und die Verletzung der Bellschen Ungleichung vom Gesichtspunkt der "Geisterwirkungen" behandelt. Dieser Ansatz ist auf jeden Fall historisch gerechtfertigt. Es gibt aber noch einen anderen Zugang, der einerseits moderner ist, andrerseits wieder zum Ursprung der Quantenmechanik zurückführt. Das ist die Frage, ob man diesen Wirkungen überhaupt eine physikalische Realität zusprechen muß.
Dazu ist es sinnvoll, zuerst eine andere, etwas abstraktere Perspektive einzunehmen, um verschränkte Systeme zu verstehen. Dazu muß man sich zwei Voraussetzungen der bisherigen Betrachtungsweise bewußt machen: (1) Es wurde immer davon gesprochen, daß die erste Messung (an einem der verschränkten Photonen) einen Einfluß auf das zweite Teilchen ausübt, der sich im Ergebnis der zweiten Messung niederschlägt. (2) Es wurde davon gesprochen, daß durch die Messung eine jeweilige Eigenschaft der Teilchen festgestellt wird, so als liege diese Eigenschaft schon vor der Messung vor.
Beides entspricht aber in zweierlei Hinsicht nicht dem Formalismus der Quantenmechanik.(4) (1) In diesem Formalismus bilden die beiden Teilchen, wenn sie miteinander verschränkt sind, ein Objekt, eine Art Ganzheit. Erst durch die Messung wird diese eine Objekt in zwei Objekte, zwei Photonen, zerlegt. In diesem Sinn erfolgt also nicht eine Wirkung von einem Photon auf das andere, sondern man betrachtet zwei Eigenschaften eines Objekts, das beliebig weit ausgedehnt ist (soweit die Photonen auseinander gelaufen sind), und das erst durch die Messung in zwei Objekte zerlegt wird. (2) Weiterhin spricht die Quantenmechanik nicht davon, daß die meßbaren Eigenschaften dieses Objekts (oder allgemein quantenmechanischer Objekte) schon vor der Messung bestimmte Werte haben. Sondern die Quantenmechanik kennzeichnet den Zustand eines Objekts durch die sogenannte Wellenfunktion. Diese Wellenfunktion ordnet aber den möglichen Meßergebnissen in der Regel nur Wahrscheinlichkeiten zu. Erst durch die Messung wird genau ein Messergebnis festgestellt. Die Zuordnung eines bestimmten Werts zu einer Eigenschaft ist ein Ergebnis einerseits des Zustands des quantenmechanischen Objekts, und andrerseits des Meßvorgangs.
Wenn man von einem Gesamtobjekt spricht, das aus zwei Photonen besteht, zeigen die Versuche zu EPR, daß die Messung einer Eigenschaft den Zustand des Objekts beeinflußt, und damit seine anderen Eigenschaften. Es ist nun interessant, in welcher Weise dieser Einfluß erfolgt: Ganz allgemein gilt: Normalerweise (vgl. oben) kann man aus der Wellenfunktion nur Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Meßergebnisse errechnen. Wenn aber eine Messung an einem Objekt durchgeführt wird, dann ist unmittelbar anschließend das Objekt in einem Zustand (es hat eine entsprechende Wellenfunktion), der bei der Wiederholung der Messung genau das gleiche Ergebnis reproduzieren würde. Man bezeichnet dies als das Meßaxiom der Idealmessung. Dieses sagt eigentlich nur, daß Messungen überhaupt sinnvoll sind. Denn zwei Messungen derselben Eigenschaften eines Objekts, die unmittelbar aufeinander folgen, sollten das gleiche Ergebnis liefern, damit eine Messung überhaupt eine Information über das betrachtete System zur Verfügung stellt.
Man kann nun fragen, ob und inwieweit die Beschreibung eines quantenmechanischen Objekts durch eine Wellenfunktion "reale" Eigenschaften dieses Objekts repräsentiert. Was sind "reale" Eigenschaften?(5) Der Begriff läßt sich in diesem Zusammenhang nur von seinem Gegenbegriff her verstehen: Realität bezeichnet die Eigenschaft von Dingen unabhängig von ihrer Erscheinung. Erscheinung bedeutet, wie etwas von einem bestimmten Beobachter oder von einer Gruppe von Beobachtern wahrgenommen wird. Unabhängigkeit wird hier in zweierlei Weise verstanden: (1) Die Realität kann von der Erscheinung immer verschieden sein, wie groß auch immer die Übereinstimmung unter den Beobachtern über die Erscheinung ist. (2) Realität existiert auch unabhängig von der Erscheinung.
Der fragliche Punkt ist nun, wie weit Parameter eines quantenmechanischen Objekts unabhängig von ihrer Erscheinung bestimmte Werte haben. Wenn man verschränkte Systeme unter dem Gesichtspunkt der Eigenschaften des Gesamtsystems betrachtet, kann man den Eigenschaften, die unter das EPR-Paradox fallen, gerade keine festen Werte unabhängig von der Erscheinung zuordnen. Denn die Weise, wie die Meßwerte dieser Eigenschaften miteinander korreliert sind, widerspricht ja der klassischen Logik, wie oben gezeigt wurde. (Unter der Voraussetzung, daß die Messung einer Eigenschaft nicht die andere beeinflußt, was nichts anderes ist, als daß Realität auch unabhängig von der Erscheinung existiert.)
Damit liefert das EPR-Paradox eine Beschränkung dafür, was in einem verschränkten System als reale Eigenschaft betrachtet werden kann: Z.B. im System mit zwei verschränkten Teilchen, deren Spins gemessen werden, kann nur jeweils der Spin des einen Teilchens als realistische Eigenschaft angesehen werden.
Es gibt eine Analyse von Jeffrey Bub "wie viele" reale Eigenschaften man einem Quantensystem maximal zuordnen kann. Das Ergebnis ist nicht sehr anschaulich(6), aber es zeigt, daß es dafür Beschränkungen gibt, und daß in verschränkten Systemen gerade die korrelierten Eigenschaften nicht gleichzeitig als real (unabhängig von der Erscheinung, vom Phänomen) angesehen werden können. Einige Parameter lassen sich aber als real ansehen. Die Bohmsche Interpretation der Quantenmechanik betrachtet z.B. die Position aller Teilchen als reale Eigenschaft, was durch das Theorem von Bub nicht ausgeschlossen wird.(7) Andere Eigenschaften (wie Spin) können dann aber nicht im allgemeinen Fall als real angesehen werden. Eine realistische Interpretation, das zeigen die Analysen von Bub, muß sich auf bestimmte Eigenschaften von quantenmechanischen Systemen beschränken, wobei die Auswahl nicht frei ist.
1. Die Anfangsbuchstaben dieser Autoren führten zur Bezeichung "EPR-Paradox".
2. Das ist so wie wenn man das Würfeln so beschreibt, daß bei jedem Wurf mit der Wahrscheinlich 1/6 die Zahl 6 vorkommt. Eine physikalisch vollständige Beschreibung würde genau erfassen wie der Würfel jeweils geworfen wird und wie seine Oberfläche und die Oberfläche der Unterlage genau beschaffen sind, usw.. Dann läßt sich jeweils genau berechnen, welche Zahl geworfen wird. Die andere Beschreibung ("mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 wird 6 geworfen") ist richtig, aber sie beruht eigentlich auf unserem Unwissen.
3. Nebenbemerkung: Dabei widerspricht dies nicht dem Nahewirkungsprinzip: Das Modell, mit dem diese Kraft erklärt wird, führt sogenannte virtuelle Teilchen ein, die den Abstand im Raum überbrücken und so die Wirkung übertragen.
4. Gemeint ist der Formalismus in der Kopenhagener Deutung.
5. Vgl. R. Audi (Hrsg.): The Cambridge Dictionary of Philosophy (Cambridge: Cambridge University Press 1995), Artikel zu "reality".
6. Formulierung des Theorems bei Bub (1997, 126f).
7. Das gilt im Rahmen der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie ist bisher nicht gezeigt worden, ob sich der Ansatz Bohms durchführen läßt. Die Position von Teilchen kann in diesen Theorien gar nicht als Messparameter angesehen werden, weil sonst Widersprüche auftreten.